בתאריך כ"ה תשרי ה'תקצ"ט בעיר בנדין שבפולין, נולד עילוי מופלא, אשר עתיד היה להאיר את שמי עולם התורה והחסידות באור יקרות. היה זה רבי אברהם בורנשטיין, בנו של הגאון רבי זאב נחום, בעל הספר "אגודת אזוב", ונכדו של רבי אהרן בורנשטיין משצ'קוצ'ין. כבר מילדותו ניכרו בו כישרונותיו הברוכים, ובהקדמתו לספרו "אגלי טל" העיד על עצמו כי עוד בהיותו כבן עשר, חידש חידושי תורה.
בשנת ה'תר"י עברה משפחתו לאולקוש, שם כיהן אביו ברבנות, ולאחר מכן, בשנת ה'תרט"ז, נענה לבקשת חותנו לעתיד, הרבי מקוצק, ועבר לכהן כרב בעיר ביאלה פודולסק, שם הקים ישיבה והעמיד אלפי תלמידים.
זכה רבי אברהם להתקרב אל צדיקי דורו, ובראשם חותנו, רבי מנחם מנדל מקוצק זצ"ל, אשר ממנו ספג דרכי העיון והחכמה. על תקופה זו מעיד בהערכה עצומה בהקדמת ספרו "אגלי טל", כי חותנו היה מקור החכמה והתבונה, וממנו למד מהו באמת חידוש תורה. עוד הסתופף בצילם של רבי יצחק מאיר אלתר מגור זצ"ל ורבי חנוך העניך מאלכסנדר זצ"ל.
בשנת ה'תרכ"ג, ארבע שנים לאחר פטירת חותנו, נתמנה לרבה של פרצ'ב. לאחר מכן כיהן ברבנות בקרושנוביץ, שם הקים ישיבה, אשר ככל הנראה הייתה הישיבה החסידית הראשונה. בתקופה זו מסר שיעורים בעיון לתלמידיו מדי יום. בהמשך, בשנת ה'תרל"ו, עבר לכהן ברבנות נשלסק, ובשנת ה'תרמ"ג קיבל את רבנות העיר סוכטשוב. לאחר מספר שנים עזב את הרבנות ושימש כאדמו"ר בלבד.
בהיותו בסוכטשוב, הקים ישיבה מסודרת, בה הדגיש את דרכו המיוחדת בלימוד, המשלבת לימוד בשמחה ובהתלהבות עם התרוממות הרוח, וחיבור תורת הנגלה והחסידות. הוא נודע ב'עולם התורה' בזכות דרך הלימוד הסוכטשובית. למרות שהיו לו תלמידים מועטים יחסית, הקפיד לקבל רק בני תורה מובהקים.
רבי אברהם זצ"ל לא הסתפק בגבולות הלימוד וההוראה, אלא פעל רבות למען יישוב ארץ ישראל. הוא תמך בעלייה לארץ ישראל, וכתב בשו"ת "אבני נזר" על המצווה הגדולה להשתדל אצל הממשלה שתיתן רשות לעלות לארץ, ולרכוש בה נחלה. אף פנה לחסידים בעלי יכולת לתמוך ברעיון רכישת אדמה למושבת חסידים בארץ ישראל, ובשנת ה'תרנ"א יצאה משלחת בראשות בנו רבי שמואל ואחיו-חתנו רבי מאיר לארץ ישראל במטרה זו, אך התוכנית לא יצאה אל הפועל עקב גזירת השלטון הטורקי.
זכה רבי אברהם להשאיר אחריו ברכה בדמות ספרים חשובים שהאירו את עולם ההלכה והחסידות. בין חיבוריו המפורסמים נמנים: "אגלי טל" על ל"ט מלאכות שבת, אשר הקדמתו נחשבת לקלאסיקה בעולם התורני, ושו"ת "אבני נזר", שנדפס בשבעה כרכים ומהווה אבן פינה בפסיקת ההלכה.
ביום י"א באדר א' ה'תר"ע, נסתלק לגנזי מרומים האדמו"ר רבי אברהם בורנשטיין זצ"ל. מקום מנוחתו כבוד בבית הקברות בסוכטשוב, ועליו הוקם אהל.
זכותו תגן עלינו אמכי"ר