רבי דוד פוברסקי נולד בעיר ליובאן שברוסיה. בנעוריו למד בישיבת סלוצק אצל הרב איסר זלמן מלצר. עם פרוץ מלחמת העולם הראשונה, נאלץ לברוח והגיע לפולטבה, שם שהתה ישיבת מיר. בתקופה זו השתמש בדרכון של אדם בשם יהושע פוברסקי, ומאז אימץ שם זה, אשר הונצח מאוחר יותר בספרו "ישועת דוד". בפולטבה למד תקופה קצרה בישיבת סלבודקה ומשם המשיך לישיבת מיר, שם הושפע עמוקות מהמשגיח, הרב ירוחם ליבוביץ. בנוסף, למד בישיבת פוניבז' בליטא אצל הרב יוסף שלמה כהנמן ובישיבת קלם, ואף נחשב לחניך אסכולת קלם. לאחר מכן שב לישיבת מיר ולמד בה עד נישואיו בשנת 1930.
לאחר נישואיו לצפורה, בתו של הרב דב קרייזר מראשי ישיבת קלצק, הצטרף לכולל של הרב אלחנן וסרמן בברנוביץ' ולעיתים מסר שיעורים בישיבתו. בתקופה זו הוציא לאור את החלק הראשון של ספרו "ישועת דוד". בשנת 1938 הוזמן על ידי הרב דוד מינצברג מישיבת חכמי לובלין ללמד בישיבה, ביקר בה במשך שמונה ימים והעביר שיעורים, אך מלחמת העולם השנייה פרצה בטרם הספיק להחליט אם לקבל את המשרה.
בשנת 1941 עלה הרב פוברסקי לארץ ישראל עם משפחתו. זמן קצר לאחר מכן התמנה לר"מ ראשי בישיבת אחי תמימים של חסידות חב"ד בתל אביב. בשנת 1944 נענה להזמנת הרב כהנמן לכהן כראש ישיבה בישיבת פוניבז' בבני ברק, לצד הרב שמואל רוזובסקי. יחד עמו הביא תלמידים נוספים, ביניהם הרב מרדכי שלמה ברמן.
לאורך חייו, הרב פוברסקי מיעט לעסוק בעניינים ציבוריים וכמעט לא השתתף באירועים פוליטיים. הוא התמקד בלימוד והוראה והעמיד דורות של תלמידים בישיבת פוניבז'. הרב יהושע דוד פוברסקי נפטר בו' באדר ה'תשנ"ט, וונקבר בבית הקברות פוניבז'.
רבי דוד פוברסקי זצ"ל – עובדות והנהגות
מיקסר של שלום בית
היה זה בשנים שחיו בביתו מתוך דחקות. הרבנית רצתה לקנות מיקסר, שהיה מכשיר מאוד חיוני עבורה בתור עקרת בית, אך מכשיר כזה עלה סכום כסף שלא היה ברשותם. יום אחד נודע לה על מכירה מיוחדת של תכולה שלימה של בית ובין היתר מוצע למכירה מיקסר כמעט חדש במחיר מציאה כאשר דיברה ע''ז עם בעלה וסיפרה לו על המיקסר שאפשר לקנות במחיר שהם יכולים להרשות לעצמם הוא הגיב בסירוב מוחלט.
וזאת משום, שתוך כדי דיבור אודות הקניה נודע לו שמכירת התכולה של הבית במחירים זולים הוא בעקבות משפחה שהתפרקה רבי דוד טען שהוא אינו יכול ליהנות ממכשיר מיקסר כאשר הוא מודע לצער הגדול של אלו ש"נאלצים למוכרו במחיר מציאה.
כלי ריק אינו מחזיק
אמרו חז"ל אפילו ריקנין שבהם מלאים מצוות כרימון. ונודעת הקושיה, אם הם מלאים במצוות מדוע הם נקראים "ריקנין", הרי הם אינם ריקים כלל מכיון שיש בהם מצוות כרימון.
תירץ על כך הגאון ר' דוד פוברסקי זצ"ל תרוץ נפלא, שיכול להיות שאדם יש בו מצוות רבות מאוד, תלמוד תורה, חסד, וכו' אולם הוא עדיין מוגדר כריק, כל זאת למה, שהנה הרימון יש בו גרעינים רבים אולם כל אחד עומד לעצמו, לא כמו תפוח או אגס שהכל מקשה אחת, אלא כל גרעין קטן עומד לעצמו. כן הדבר במצוות שאדם עושה, אדם יכול ללמוד תורה ולקיים מצוות רבות, אולם הכל בחינת ריק, מכיון שהכל נפרד אחד מן השני ואין חיבור אמיתי בין מצוה אחת לחברתה.